Question

横梁的强度和它的矩形断面的宽成正比,并和高的平方成正比,要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,问断面的高和宽是多少?

Answer 1

思路分析:横梁的强度和它的矩形断面的宽成正比,并和高的平方成正比,故可将横梁强度表示成宽×(高)².

图1-4-1

解:如图1-4-1所示,设断面的宽为x,高为y,则当xy²取极大值时横梁的强度为最大.又y²=d²-x²,

∴f(x)=xy²=x(d²-x²)(0＜x＜d).

f′(x)=d²-3x².令f′(x)=0,解得x=.

根据实际,当x偏小(接近于0)或偏大(接近于d)时,强度很小,因此f()为强度的极大值且同时为最大值.

答:横梁锯成宽为d,高为d时,横梁的强度最大.

    深化升华 解函数的有关最大值、最小值的实际问题,要在分析问题中的各个变量之间关系的基础上,列出合乎题意的函数关系式,并确定函数的定义域.注意所求的结果一定要符合问题的实际意义.