Question

6．某企业拟在2011年度进行一系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3-x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件．已知2011年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．
（1）将2011年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；
（2）该企业2011年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？
（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）

Answer 1

分析 （1）根据3-x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，可求出k的值；进而通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数；
（2）利用基本不等式求出最值，即可得结论．

解答 解：（1）由题意：3-x=$\frac{k}{t+1}$，将t=0，x=1代入k=2，∴x=3-$\frac{2}{t+1}$…（2分）
当年生产x（万件）时，年生产成本=32x+3=32（3-$\frac{2}{t+1}$）+3，…（4分）
当销售x（万件）时，年销售收入=150%[32（3-$\frac{2}{t+1}$）+3]+$\frac{1}{2}$t       …（6分）
由题意，生产x万件产品正好销完
∴年利润=年销售收入-年生产成本-促销费即y=$\frac{-{t}^{2}+98t+35}{2（t+1）}$（t≥0）…（7分）
（2）∵y=50-（$\frac{t+1}{2}$+$\frac{32}{t+1}$）≤50-2$\sqrt{16}$=42万件                …（9分）
当且仅当$\frac{t+1}{2}$=$\frac{32}{t+1}$，即t=7时，y_max=42∴当促销费定在7万元时，利润增大．…（12分）

点评 本题主要考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题．