Question

7．关于x的不等式（$\frac{1}{2}$）^2x≤2^-1-x的解集为A，函数f（x）是R上的增函数，且经过（-3，-1）和（1，2）两点，集合B={x|f（x）＜-1或f（x）＞2}．
（1）求集合A；
（2）求集合B；
（3）若x∈A且a＞1，求函数h（x）=log_a（a²x）•log_a（ax）的最值．

Answer 1

分析 （1）直接利用指数不等式求解集合A；
（2）通过函数的单调性可求得集合B．
（3）由题设条件，推导出f（x）的二次函数的表达式，通过二次函数的性质能求出结果．

解答 解：（1）（$\frac{1}{2}$）^2x≤2^-1-x，
?2x≥1+x?x≥1，
∴A=[1，+∞）．
（2）∵函数f（x）在R上为增函数，且过（-3，-1）和（1，2）两点，
由A={x|-1＞f（x）或f（x）＞2}得：f（-3）＞f（x）或f（x）＞f（1）
解得x＜-3或x＞1，
∴B=（-∞，-3）∪（1，+∞）
（3）x∈A且a＞1，求函数h（x）=log_a（a²x）•log_a（ax）=（1+log_ax）•（2+log_ax）
=（log_ax）²+3log_ax+2
=（log_ax+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$．x∈[1，+∞）．a＞1，
log_ax≥0，
函数h（x）=log_a（a²x）•log_a（ax）的最小值为：2．

点评 本题考查指数函数的单调性，指数不等式的解法，二次函数的性质的应用，考查转化分析与运算能力，属于难题．