Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）求证：直线是曲线的切线；

（Ⅲ）写出的一个值，使得函数有三个不同零点（只需直接写出数值）

Answer 1

【答案】（1）递增区间为，，单调递减区间为； （2）见解析；（3）见解析.

【解析】

（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）的导数f′（x），由f′（x）＞0，得f（x）单调递增；f′（x）＜f（x）单调递减；

（Ⅱ）由f′（x）=3x2+2x+a，令f′（x）=）=3x2+2x+a=a，解得x1=0，x2=，

而f（0）=﹣1，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=ax﹣1，由此可得，无论a为何值，直线y=ax﹣1是曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线；（Ⅲ）取a的值为﹣2．

（Ⅰ）函数的定义域为

当a=-1时，

所以

令，得，

当x变化时，，的变化情况如下表：

x		-1
	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为

（Ⅱ）因为

令，解得，

而，曲线在点处的切线方程为，

即所以无论a为何值，直线都是曲线在点处的切线

（Ⅲ）取a的值为-2这里a的值不唯一，只要取a的值小于-1即可.