Question

【题目】已知圆M的圆心在直线：上，与直线：相切，截直线：所得的弦长为6.

（1）求圆M的方程；

（2）过点的两条成角的直线分别交圆M于A，C和B，D，求四边形面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）设圆的标准方程，将圆心代入直线的方程，由点到直线距离公式求得圆M到的距离，由弦长公式及点到直线距离公式表示出直线与圆的关系，解方程组即可求得的值，即可求得圆M的标准方程

（2）解法1：作，，令，，讨论或两种情况：当时，由余弦定理表示出，而、、、四点共圆，根据正弦定理求得，进而求得，结合基本不等式即可求得，即可求得四边形面积的最大值；当时，由基本不等式求得，即可由二次函数性质求得四边形面积的最大值.

解法2：结合三角形面积公式可得，由基本不等式可知，讨论或两种情况，即可确定四边形面积的最大值.

（1）设圆M的方程为：

则，解得：，

∴所求圆方程为

（2）解法1：

如图作，，令，，或

当时，，

因、、、四点共圆，

由正弦定理，

∴，

又，

∴，

，

，当且仅当时取等，

当时，，

∴，

又，

所以，

综上所述，四边形面积的最大值为.

解法2：

（当且仅当时取等号），

要使得，则直线PM应是的平分线，

当时，圆心M到直线AC、BD的距离为，则，

.

当时，圆心M到直线AC、BD的距离为，则，

.

综上所述，四边形面积的最大值为.