Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点。

（1）求证：AF∥平面BCE；

（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；

（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小.

Answer 1

（1）见解析；（2）见解析；（3）45°.

【解析】

试题分析：（1）由于点F为中点，取线段CE的中点P即可得到，BP与AF平行，根据线面平行的判断定理即可得到结论.

（2）欲证面面垂直，由判定定理即可得到结论.在等边三角形ACD中，AF垂直CD，又有AB垂直于AF，即可得到AF垂直于平面CDE.由此可得结论.

（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角，建立空间坐标系，根据所给的条件写出各点的坐标，再写出两个平面的法向量，根据法向量的夹角，即可得到结论.另解通过延长EB与DA构造出两平面的交线，由此可得到二面角的平面角.

试题解析：（1）【解析】
取CE中点P，连结FP、BP，

∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且.

又AB∥DE，且，∴AB∥FP，且AB=FP，

∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP

又∵平面BCE，BP平面BCE，

∴AF∥平面BCE

（2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD.

∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，

∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，

∴DE⊥AF.又AF⊥CD，,

∴AF⊥平面CDE

又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE.又∵平面BCE，

∴平面BCE⊥平面CDE

（3）法一、由（2），以F为坐标原点，

FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），

建立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2，

则C（0，-1,0），B（，0,1），E（0,1,2）.

设为平面BCE的法向量，

∴，∴，令n=1，则

显然，为平面ACD的法向量.

设面BCE与面ACD所成锐二面角为，

则.∴.

即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°

法二、延长EB、DA，设EB、DA交于一点O，连结CO.

则面EBC面DAC=CO.

由AB是△EDO的中位线，则DO=2AD.

在△OCD中∵OD=2AD=2AC，∠ODC=60°.

OC⊥CD，又OC⊥DE.

∴OC⊥面ECD，而CE面ECD，

∴OC⊥CE，∴∠ECD为所求二面角的平面角

在Rt△EDC中，∵ED=CD，∴∠ECD=45°

即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°.

考点：1.线面平行的判定.2.面面垂直的判定.3.二面角的求法.

考点分析： 考点1：点、线、面之间的位置关系 考点2：异面直线所成的角 考点3：线面所成的角 试题属性

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