Question

有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a是圆锥的全面积，a′是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值．

Answer 1

【答案】分析：设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为L，由圆柱和圆锥的表面积公式表示出a和a′，
因为，消去R得到L和h的关系，解方程即可．
解答：解：设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为L，
则，
∴2a（R+h）=a'（R+L）．
由R=，代入可得
，
（2a-a'）=a'L-2ah．
两边同除以L，可得
（2a-a'）．
等式两边平方，
，
．
这个关于的一元二次方程的判别式
△=（-4aa'）²-4（8a²-4aa'+a'²）（4aa'+a'²）=16a（2a-a'）³＞0，
∴该一元二次方程有二个实根，此二实根即圆锥的高与母线的比：

=．
点评：本题考查圆柱和圆锥的表面积公式、二次方程根的问题，考查消元法和构造方程求解．