Question

有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a是圆锥的全面积，a′是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值．

Answer 1

分析：设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为L，由圆柱和圆锥的表面积公式表示出a和a′，
因为R=

L2-h2

，消去R得到L和h的关系，解方程即可．

解答：解：设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为L，
则

a

a′

=

πR(R+L)

2πR(R+h)

=

R+L

2(R+h)

，
∴2a（R+h）=a'（R+L）．
由R=

L2-h2

，代入可得
2a(

L2-h2

+h)=a′(

L2-h2

+L)，
（2a-a'）

L2-h2

=a'L-2ah．
两边同除以L，可得
（2a-a'）

1-( h L )2

=a′-2a

h

L

．
等式两边平方，
(4a2-4a′a+a′2)[1-(

h

L

)2]=a′2-4aa′•

h

L

+4a2(

h

L

)2，
(8a2-4aa′+a′2)(

h

L

)2-4aa′

h

L

+(4aa′+a′2)=0．
这个关于

h

L

的一元二次方程的判别式
△=（-4aa'）²-4（8a²-4aa'+a'²）（4aa'+a'²）=16a（2a-a'）³＞0，
∴该一元二次方程有二个实根，此二实根即圆锥的高与母线的比：

h

L

=

4aa′± 16a(2a-a′)3

2(8a2-4aa′+a′2)

=

4aa′±4(2a-a′) a(2a-a′)

2[4a2+(2a-a′)2]

=

2aa′±2(2a-a′) a(2a-a′)

4a2+(2a-a′)2

．

点评：本题考查圆柱和圆锥的表面积公式、二次方程根的问题，考查消元法和构造方程求解．