精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y=f（x）（x∈D），对任意 $数学公式$ 均满足 $数学公式$ ，当且仅当x=y时等号成立．
（1）若定义在（0，+∞）上的函数f（x）∈M，试比较f（3）+f（5）与2f（4）大小．
（2）设函数g（x）=-x²，求证：g（x）∈M．
（3）已知函数f（x）=log₂x∈M．试利用此结论解决下列问题：若实数m、n满足2^m+2ⁿ=1，求m+n的最大值．

解：（1） $\text{[math]}$ ，即f（3）+f（5）≤2f（4）
但3≠5，所以f（3）+f（5）＜2f（4）
（若答案写成f（3）+f（5）≤2f（4），扣一分）（4分）
（2）任取x，y∈R，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，（6分）
所以 $\text{[math]}$ ，
当且仅当x=y时等号成立，则g（x）∈M．（10分）
（3）设x=2^m，y=2ⁿ，则m=log₂x，n=log₂y．
由已知：函数f（x）=log₂x满足 $\text{[math]}$
得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，则m+n≤-2（14分）
当且仅当x=y，即 $\text{[math]}$ ，即m=n=-1时，m+n有最大值为-2．（16分）
分析：（1）根据对任意 $\text{[math]}$ 均满足 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ ，化简可得结论；
（2）任取x，y∈R，然后计算 $\text{[math]}$ 的符号，从而判定是否满足定义；
（3）设x=2^m，y=2ⁿ，则m=log₂x，n=log₂y，且m+n=1，而函数f（x）=log₂x满足 $\text{[math]}$ 建立关系式可求出m+n的最大值．
点评：本题主要考查了抽象函数的性质，以及基本不等式研究函数的最值，属于中档题．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：

（2008•奉贤区模拟）我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y=f（x）（x∈D），对任意x，y，

x+y

∈D均满足f(

x+y

)≥

[f(x)+f(y)]，当且仅当x=y时等号成立．
（1）若定义在（0，+∞）上的函数f（x）∈M，试比较f（3）+f（5）与2f（4）大小．
（2）给定两个函数：f1(x)=

(x＞0)，f₂（x）=log_ax（a＞1，x＞0）．证明：f₁（x）∉M，f₂（x）∈M．
（3）试利用（2）的结论解决下列问题：若实数m、n满足2^m+2ⁿ=1，求m+n的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

（2008•奉贤区一模）我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y=f（x）（x∈D），对任意x，y，

x+y

∈D均满足f(

x+y

)≥

[f(x)+f(y)]，当且仅当x=y时等号成立．
（1）若定义在（0，+∞）上的函数f（x）∈M，试比较f（3）+f（5）与2f（4）大小．
（2）设函数g（x）=-x²，求证：g（x）∈M．
（3）已知函数f（x）=log₂x∈M．试利用此结论解决下列问题：若实数m、n满足2^m+2ⁿ=1，求m+n的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数，对任意均满足，当且仅当时等号成立。