Question

我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y=f（x）（x∈D），对任意均满足，当且仅当x=y时等号成立．
（1）若定义在（0，+∞）上的函数f（x）∈M，试比较f（3）+f（5）与2f（4）大小．
（2）给定两个函数：，f₂（x）=log_ax（a＞1，x＞0）．证明：f₁（x）∉M，f₂（x）∈M．
（3）试利用（2）的结论解决下列问题：若实数m、n满足2^m+2ⁿ=1，求m+n的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意中所给的定义直接判断f（3）+f（5）与2f（4）大小即可；
（2）对于函数f₁（x）∉M可通过举两个反例，说明其不符合所给的定义可取x=1，y=2，对于f₂（x）∈M可按定义规则进行证明，任取x，y∈R⁺，求出利用基本不等式，得到，即可证明出结论；
（3）参照（2）的方法，利用所给的定义及基本不等式作出变化，再判断即可得出所求的最值
解答：解：（1），即f（3）+f（5）≤2f（4）
但3≠5，所以f（3）+f（5）＜2f（4）
（若答案写成f（3）+f（5）≤2f（4），扣一分）                        （4分）
（2）①对于，取x=1，y=2，则


所以，f₁（x）∉M．（6分）
②对于f₂（x）=log_ax（a＞1，x＞0）任取x，y∈R⁺，则
∵，而函数f₂（x）=log_ax（a＞1，x＞0）是增函数
∴，即
则，即f₂（x）∈M．（10分）
（3）设x=2^m，y=2ⁿ，则m=log₂x，n=log₂y，且m+n=1．
由（2）知：函数g（x）=log₂x满足，
得，即，则m+n≤-2（14分）
当且仅当x=y，即，即m=n=-1时，m+n有最大值为-2．（16分）
点评：本题考查不等式的综合题，考查了比较大小，基本不等式求最值的运用，对数的运算性质，解答本题关键是理解定义及基本不等式的运用规则，本题考查了理解能力及判断推理的能力，考查了转化的思想，本题综合性强，注意总结本题的做题的规律