Question

已知函数，a∈R．
（1）若a=2，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（3）求证：对于任意正整数n，．

Answer 1

解：（1），x＞0，，
令f'（x）＞0，因为x＞0，所以x＞1，所以f（x）的单调增区间为（1，+∞）；
令f'（x）＜0，因为x＞0，所以0＜x＜1，所以f（x）的单调减区间为（0，1）．
（2）．
因为函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，
所以在x∈[1，+∞）上恒成立，
即在x∈[1，+∞）上恒成立．
令，g（t）=t²+t，0＜t≤1，
图象的对称轴为，所以t=1时，g（t）_max=2．
所以a≥2，即当函数f（x）在[1，+∞）上为增函数时，实数a的取值范围为[2，+∞）．
（3）由（1）知在[1，+∞）上是增函数，
所以在[1，+∞）上，f（x）_min=f（1）=3，
所以x＞1时，f（x）＞3．
令，则x＞1，
所以，
即，
即．
所以结论得证．
分析：（1）当a=2时，其中x＞0，然后对函数求导数，在函数的定义域下，使导数大于零的区间，就是函数的单调增区间，使导数小于零的区间就是函数的单调减区间，解相应的不等式即可得函数f（x）的单调区间；
（2）函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，即为函数的导数在区间[1，+∞）上恒大于或等于零，变形为≥0区间[1，+∞）上恒成立，利用变量分离，得到在x∈[1，+∞）上恒成立．以为自变量，研究右边函数的最大值，可得实数a的取值范围是[2，+∞）；
（3）在（1）的结论下，可得在[1，+∞）上，f（x）_min=f（1）=3，所以x＞1时，f（x）＞3．再取自变量，是一个属于区间[1，+∞）的变量，故有，最后将这个不等式加以变形，化简整理可证得原不等式正确．
点评：本题以一个复合型函数为例，通过研究它的单调性与最值，着重考查了利用导数研究函数的单调性、二次函数的最值和不等式恒成立的处理等知识点，属于中档题．