Question

（2012•东城区模拟）已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+2

3

cos2x，x∈R
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及其单调递减区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，又a=2，f(A)=1+

3

，b c=

5

3

，求△ABC的周长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用同角平方关二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合周期公式即可求解，结合正弦函数的单调区间可求该函数的单调递减区间
（Ⅱ）由f(A)=1+

3

可求A，然后由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可求b+c，进而可求周长

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=(sinx+cosx)2+2

3

cos2x
=sin2x+cos2x+2sinx•cosx+

3

(1+cos2x)（2分）
=1+

3

+(sin2x+

3

cos2x)=1+

3

+2sin(2x+

π

3

)（4分）
所以函数f（x）的周期为π．（5分）
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z
解得  kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，
故函数f（x）的单调减区间是[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

](k∈Z)．（7分）
（Ⅱ）∵f(A)=1+

3

=1+

3

+2sin(2A+

π

3

)，
则sin(2A+

π

3

)=0，
因为0＜A＜

π

2

，所以

π

3

＜2A+

π

3

＜

4π

3

，
所以2A+

π

3

=π．则A=

π

3

．（10分）
又 a=2，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得4=（b+c）²-2bc-2bccosA，
因为bc=

5

3

，所以b+c=3，则△ABC的周长等于5．（13分）

点评：本题主要考查同角平方关系、二倍角公式及辅助角公式在三角函数化简中的应用，正弦函数的性质及余弦定理等知识的综合应用，试题具有一定的综合性