Question

【题目】已知函数．

Ⅰ若函数的最大值为3，求实数的值；

Ⅱ若当时，恒成立，求实数的取值范围；

Ⅲ若，是函数的两个零点，且，求证：．

Answer 1

【答案】Ⅰ4；Ⅱ；证明见解析.

【解析】

Ⅰ求出函数的定义域，利用导函数符号判断函数的单调性，由单调性求解函数的最大值，然后求出即可；Ⅱ化简恒成立的不等式为，得到令，利用函数的导数符号判断函数的单调性，得到，然后求解的范围；Ⅲ，是函数的两个零点，可得，构造函数，利用函数的导数的符号判断函数的单调性，推出，得到，即可证明结论．

Ⅰ函数的定义域为因为，

所以在内，，单调递增；

在内，，单调递减．

所以函数在处取得唯一的极大值，即的最大值．

因为函数的最大值为3，

所以，

解得

Ⅱ因为当时，恒成立，

所以，

所以，

即．令，

则

因为，

所以．

所以在单调递增

所以，

所以，

所以即实数k的取值范围是；

Ⅲ由Ⅰ可知：，．

所以

因为，是函数的两个零点，

所以．

因为

令，

则．

所以在，，单调递减．

所以．

所以，即．

由Ⅰ知，在单调递增，

所以，

所以