Question

若（ax+1）²ⁿ和（x+a）²ⁿ⁺¹的展开式中含xⁿ项的系数相等（n∈N^*，a≠0），则a的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：利用二项展开式的通项公式求出两个二项展开式的含xⁿ项的系数，列出方程求出a，再求函数的值域．

解答：解：（ax+1）²ⁿ的通项为T_r+1=C_2n^r（ax）^r
令r=n得展开式中含xⁿ项的系数aⁿC_2nⁿ
（x+a）²ⁿ⁺¹的通项为T_r+1=C_2n+1^rx^2n+1-ra^r
令2n+1-r=n得r=n+1
∴（x+a）²ⁿ⁺¹展开式中含xⁿ项的系数为aⁿ⁺¹C_2n+1ⁿ⁺¹
∵展开式中含xⁿ项的系数相等
∴aⁿC_2nⁿ=aⁿ⁺¹C_2n+1ⁿ⁺¹
∴

1

a

=

2n+1

n+1

=2-

1

n+1

1

a

∈[

3

2

，2)
a∈(

1

2

，

2

3

]
故答案为a∈(

1

2

，

2

3

]

点评：白本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，考查函数值域的求法．