Question

已知数列{a_n}中，a1为由曲线y=

x

，直线y=x-2及y轴所围成图形的面积的

3

32

倍S_n为该数列的前n项和，且S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若不等式an+an+1+an+2+…+a3n＞

a

24

对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明结论．

Answer 1

分析：（1）利用定积分可求得a₁=

1

2

，再利用递推公式S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）当n=1时，

1

1+1

+

1

1+2

+

1

1+3

=

26

24

＞

a

24

，于是a＜26，据题意取a=25，用数学归纳法证明：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

25

24

即可．

解答：解：（1）依题意作图如下：

∵图中x轴下方的等腰直角三角形与x轴上方、直线x=4及直线y=x-2组成的等腰直角三角形全等，
∴a₁=

3

32

∫

4 0

x

dx=

3

32

×

2

3

x

3

2

|

|

4 0

=

1

2

，
∵S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n，
∴a_n+1=a_n-a_n•a_n+1，
∴

1

an+1

-

1

an

=1，又a₁=

1

2

，故

1

a1

=2，
，∴{

1

an

}是首项为2，公差为1的等差数列，
∴

1

an

=2+（n-1）×1=n+1，
．∴an=

1

n+1

．
（2）当n=1时，

1

1+1

+

1

1+2

+

1

1+3

＞

a

24

，即

26

24

＞

a

24

，
所以a＜26，而a是正整数，
所以取a=25，下面用数学归纳法证明：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

25

24

．
（1）当n=1时，已证；
（2）假设当n=k时，不等式成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k+1

＞

25

24

．
则当n=k+1时，
有

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

3(k+1)+1

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

-

1

k+1

＞

25

24

+[

1

3k+2

+

1

3k+4

-

2

3(k+1)

]．
因为

1

3k+2

+

1

3k+4

=

6(k+1)

9k2+18k+8

＞

2

3(k+1)

，
所以

1

3k+2

+

1

3k+4

-

2

3(k+1)

＞0．
所以当n=k+1时不等式也成立．
由（1）（2）知，对一切正整数n，都有：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

25

24

．
所以a的最大值等于25．

点评：本题考查数列递推式，考查数学归纳法，利用定积分求得a₁=

1

2

是应用递推关系式S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n的关键，通过数学归纳法的应用，考查推理证明的能力，属于难题．