Question

如图，在三棱锥中，，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2

（Ⅰ）证明：AP⊥BC；

（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

本题主要考查空是点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。

方法一：

   （I）证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，

建立空间直角坐标系O—xyz

则，

 

，由此可得，所以

，即

（II）解：设

设平面BMC的法向量，

平面APC的法向量

由

得

即

由即

得

由

解得，故AM=3。

综上所述，存在点M符合题意，AM=3。

方法二：

（I）证明：由AB=AC，D是BC的中点，得

又平面ABC，得

因为，所以平面PAD，

故

（II）解：如图，在平面PAB内作于M，连CM，

 

由（I）中知，得平面BMC，

又平面APC，所以平面BMC平面APC。

在

在，

在

所以

在

又

从而PM，所以AM=PA-PM=3。

综上所述，存在点M符合题意，AM=3。