Question

（2010•深圳二模）设S_n是数列{a_n}的前n项和，且a_n是S_n和2的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当1≤i≤j≤n（i，j，n均为正整数）时，求a_i和a_j的所有可能的乘积a_ia_j之和T_n；
（3）设M=

2

T1

+

22

T2

+…+

2n

Tn

(n∈N*)，求证：

1

2

≤M＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）由a_n是S_n和2的等差中项，知S_n+2=2a_n，由此入手能求出a_n．
（2）由a_i和a_j的所有可能乘积a_i•a_j=2^i+j（1≤i≤j≤n）可构成下表：2¹⁺¹，2¹⁺²，2¹⁺³，…，2^1+（n-1），2¹⁺ⁿ2²⁺²，2²⁺³，…，2^2+（n-1），2²⁺ⁿ2³⁺³，…，2^3+（n-1），2³⁺ⁿ，…2ⁿ⁺ⁿ…．构造如下n行n列的数表：2¹⁺¹，2¹⁺²，2¹⁺³，…，2^1+（n-1），2¹⁺ⁿ2²⁺¹，2²⁺²，2²⁺³，…，2^2+（n-1），2²⁺ⁿ2³⁺¹，2³⁺²，2³⁺³，…，2^3+（n-1），2³⁺ⁿ，…2ⁿ⁺¹，2ⁿ⁺²，2ⁿ⁺³，…，2^n+（n-1），2ⁿ⁺ⁿ，求a_i和a_j的所有可能的乘积a_ia_j之和T_n．
（3）Tn=

4

3

(2n-1)•(2n+1-1)，

2n

Tn

=

3×2n

4(2n-1)•(2n+1-1)

=

3

4

(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)，M=

2

T1

+

22

T2

+…+

2n

Tn

=

3

4

(1-

1

2n+1-1

)．由此能够证明

1

2

≤M＜

3

4

．

解答：解：（1）∵a_n是S_n和2的等差中项，
∴S_n+2=2a_n，①…（1分）
当n=1时，S₁+2=2a₁，解得a₁=2．
当n∈N^*，n≥2时，S_n-1+2=2a_n-1（n∈N^*，n≥2）．②
①-②得  S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1（n∈N^*，n≥2），
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴

an

an-1

=2（n∈N^*，n≥2）．
∴数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴a_n=2ⁿ（n∈N^*）．…（5分）
（2）由a_i和a_j的所有可能乘积a_i•a_j=2^i+j（1≤i≤j≤n）可构成下表：2¹⁺¹，2¹⁺²，2¹⁺³，…，2^1+（n-1），2¹⁺ⁿ2²⁺²，2²⁺³，…，2^2+（n-1），2²⁺ⁿ2³⁺³，…，2^3+（n-1），2³⁺ⁿ
…2ⁿ⁺ⁿ…（7分）
构造如下n行n列的数表：2¹⁺¹，2¹⁺²，2¹⁺³，…，2^1+（n-1），2¹⁺ⁿ2²⁺¹，2²⁺²，2²⁺³，…，2^2+（n-1），2²⁺ⁿ2³⁺¹，2³⁺²，2³⁺³，…，2^3+（n-1），2³⁺ⁿ
…2ⁿ⁺¹，2ⁿ⁺²，2ⁿ⁺³，…，2^n+（n-1），2ⁿ⁺ⁿ
设上表第一行的和为T，则T=

4(1-2n)

1-2

=4(2n-1)．
于是 2T_n=T（1+2+2²+…+2^n-1）+（2²+2⁴+…+2²ⁿ）=4(2n-1)•(2n-1)+

22(4n-1)

4-1

=

4

3

(2n-1)•(2n+2-2)．
∴Tn=

4

3

(2n-1)•(2n+1-1)．…（10分）
（3）∵Tn=

4

3

(2n-1)•(2n+1-1)，
∴

2n

Tn

=

3×2n

4(2n-1)•(2n+1-1)

=

3

4

(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)，…（12分）
∴M=

2

T1

+

22

T2

+…+

2n

Tn

=

3

4

[(

1

21-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)+(

1

23-1

-

1

24-1

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)]=

3

4

(1-

1

2n+1-1

)．
∵2ⁿ⁺¹-1≥3，
∴

1

2

≤

3

4

(1-

1

2n+1-1

)＜

3

4

．
即

1

2

≤M＜

3

4

．…（14分）

点评：考查等差数列、等比数列、不等式的证明、数列的求和等知识，考查推理论证能力和运算求解能力和化归转化数学思想．