Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M和N分别为A₁B₁ 和BB₁的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（　　）

• A．

  2

  5

• B．

  3

  5

• C．

  10

  10

• D．-

  2

  5

Answer 1

分析：建立以D为坐标原点以DA，DC，DD₁ 分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，利用空间向量坐标求向量

AM

，

CN

 的夹角，从而可求直线AM与CN所成角的余弦值．

解答：解：
以D为坐标原点以DA，DC，DD₁ 分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A₁（1，0，1），
B₁（1，1，1）．
因为M和N分别为A₁B₁ 和BB₁ 的中点，
所以M（1，

1

2

，1），N（1，1，

1

2

），
所以

AM

=(0，

1

2

，1)，

CN

=(1，0，

1

2

)，
所以

cos?＜

AM

，

CN

＞=

AM ? CN

| AM |?| CN |

=

1 2

( 1 2 )2+1 ? ( 1 2 )2+1

=

1 2

( 5 2 )2

=

2

5

，所以直线AM与CN所成角的余弦值

2

5

．
故选A．

点评：本题主要考查空间异面直线所成角的大小，建立空间坐标系，利用向量法求异面直线所成的角，是一种比较简洁的方法．