Question

15．梯形ABCD沿中位线EF折起成空间图形ABEC₁D₁F，求证：
（1）AD₁，BC₁所在直线相交（记交点为P）；
（2）设AD、BC交于R，EC₁、FD₁交于Q，则P、Q、R三点共线．

Answer 1

分析 （1）由AB∥DC₁，且AB＞DC₁，得AD₁，BC₁共面且不平行，由此能证明AD₁，BC₁所在直线相交（记交点为P）．
（2）由已知推导出P、Q、R三点分别是平面APR和平面APR的公共点，由此利用公理二得P、Q、R三点共线．

解答 证明：（1）∵梯形ABCD沿中位线EF折起成空间图形ABEC₁D₁F，
∴空间图形ABEC₁D₁F中，AB∥DC₁，且AB＞DC₁，
∴A、B、C₁、B₁共面，且AD₁，BC₁所在直线不平行，
∴AD₁，BC₁所在直线相交（记交点为P）．
（2）∵AD₁，BC₁所在直线相交，交点为P，
∴p∈AD₁，且P∈BC₁，
∵AD₁?平面APR，∴P∈平面APR，
∵BC₁?平面BPR，∴P∈平面BPR，
∵AD、BC交于R，∴R∈AD，且R∈BC，
∵AD?平面APR，∴R∈平面APR，
∵BC?平面BPQ，∴R∈平面BPR，
∵EC₁、FD₁交于Q，∴Q∈EC₁，且Q∈FD₁，
∵FD₁?平面APR，∴Q∈平面APR，
∵EC₁?平面BPR，∴Q∈平面BPR，
∴P、Q、R三点分别是平面APR和平面APR的公共点，
∵平面APR∩平面APR=PR，
∴由公理二得P、Q、R三点共线．

点评 本题考查两直线相交的证明，考查三点共线的证明，是基础题，解题时要注意平面的基本性质及推论的合理运用．