Question

20．已知非零向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{a}+7\overrightarrow{b}$．
（1）试问：A，B，C，D四个点能否在一条直线上？证明你的结论．
（2）若A，B，C，D四点中仅有三点共线，求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$满足的条件，并说明三点共线的理由．

Answer 1

分析 利用向量的线性运算、向量共线定理即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overline{CD}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$+2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$+7$\overrightarrow{b}$=4（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）=4$\overrightarrow{AB}$，
∴A，B，D三点共线，
∵$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$+2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$≠λ$\overrightarrow{AB}$，λ为常数，
∴A，B，C三点不共线，
∴A，B，C，D四个点不能在一条直线上；
（2）由（1）知A，B，D三点共线，A，B，C三点不共线，
∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overline{CD}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$+7$\overrightarrow{b}$=3$\overrightarrow{a}$+6$\overrightarrow{b}$≠λ$\overrightarrow{BC}$，
∴B，C，D三点不共线，
故$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$为非零向量．

点评 本题考查了向量的线性运算、向量共线定理，属于基础题．