Question

已知边长为6的正方形ABCD所在平面外一点P，PD⊥平面ABCD，PD=8，
（1）连接PB、AC，证明PB⊥AC；
（2）求PB与平面ABCD所成的角的大小；
（3）求点D到平面PAC的距离．

Answer 1

分析：（1）由几何体的结构可知证明PB⊥AC的问题可转化为证明AC⊥面PDB来证，而此线面垂直易证．
（2）由题意，知PB与平面ABCD所成的角是∠PBD，△PDB是一个直角三角形，∠PBD的正切值可求．
（3）点D到平面PAC的距离即棱锥D-PAC的高，而其体积易求，问题可以转化为等体积法来求，

解答：（1）证明：连接BD，交AC于O，在正方形ABCD中，AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，所以，PD⊥AC，（2分）
所以AC⊥平面PBD，故PB⊥AC．（4分）
（2）解：因为PD⊥平面ABCD，则∠PBD就是PB与平面ABCD所成的角，（6分）
在DP、BD中，PD=8，BD=6

2

所以tan∠PBD=

2 2

3

∠PBD=arctan

2 2

3

（8分）
PB与平面ABCD所成的角的大小为arctan

2 2

3

（9分）
（3）解：连接PC，设点D到平面PAC的距离为h，（10分）
则有V_D-PAC=V_P-ACD，即：

1

3

s_△PAC×h=

1

6

×PD×AD×DC=36（12分）
在△PAC中，连接PO，显然PO⊥AC，PO=

82

，又AC=6

2

 故s_△PAC=

1

2

×6

2

×

82

=6

41

 故

1

3

×6

41

×h=36
h=

18 41

41

所以点D到平面PAC的距离为

18 41

41

（14分）

点评：本题考点是点、线、面间的距离计算，考查用线面垂直证明线线垂直，二面角的求法以及点到面的距离计算技巧-等体积法，本题涉及到的技巧较多，考查全面综合性强．