如图.ADB为半圆.AB为半圆直径.O为半圆圆心.且OD⊥AB.Q为线段OD的中点.已知|AB|=4.曲线C过Q点.动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变. (I)建立适当的平面直角坐标系.求曲线C的方程, (II)过点B的直线l与曲线C交于M.N两点.与OD所在直线交于E点. 为定值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（本小题满分14分）

如图，ADB为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。

（I）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

（II）过点B的直线l与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，

为定值。

解：（Ⅰ）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴， O为原点，建立平面直角坐标系，∵动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．且点Q在曲线C上,

∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4．

∴曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆．

设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1．

∴曲线C的方程为+y²=1 6分

（Ⅱ）证法1：设点的坐标分别为，

易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．

∵，∴．

∴ ，． 10分

将M点坐标代入到椭圆方程中得：，

去分母整理，得． 11分

同理，由可得：

． 12分

∴ ，是方程的两个根，

∴ ． 14分

（Ⅱ）证法2：设点的坐标分别为，

易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．

显然直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程是．

将直线的方程代入到椭圆的方程中，消去并整理得

． 10分

∴ ，． 11分

又 ∵，则．∴，

同理，由，

∴． 12分

∴． 14分

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