Question

f（x）是R上以2为周期的奇函数，当x∈（0，1）时f(x)=log2

1

|x-1|

，则f（x）在x∈（3，4）时是（　　）

A．减函数且f（x）＞0

B．减函数且f（x）＜0

C．增函数且f（x）＞0

D．增函数且f（x）＜0

Answer 1

分析：欲求f（x）在区间（3，4）上的性质，可先求出其解析式，先根据奇偶性求出在（-1，0）上的解析式，然后根据周期性求出在（3，4）上的解析式，再根据解析式研究性质．

解答：解：设-1＜x＜0，则0＜-x＜1，∴f(-x)=log2

1

|x+1|

，
又f（x）=-f（x），∴f（x）=-log2

1

|x+1|

，
∴当3＜x＜4时，-1＜x-4＜0，
∴f（x）=f（x-4）=-log2

1

|x-3|

，
∴f（x）在x∈（3，4）上是增函数，且f（x）＜0．
故选：D．

点评：本题主要考查了函数周期性和单调性，已知奇函数的一侧的解析式，可以求出其关于原点对称的另一侧的解析式，这是奇函数的一个重要应用，属于基础题．