Question

（2012•甘肃一模）已知f（x）是R上以2为周期的奇函数，且当x∈（0，1）时，f(x)=log2

1

1-x

，则f（x）在x∈（3，4）时是一个（　　）

A．增函数且f（x）＜0

B．增函数且f（x）＞0

C．减函数且f（x）＜0

D．减函数且f（x）＞0

Answer 1

分析：先确定函数在x∈（-1，0）上的解析式，再结合f（x）是R上以2为周期的函数，确定函数在x∈（3，4）时的解析式，从而可得结论．

解答：解：设x∈（-1，0），则-x∈（0，1）
∵当x∈（0，1）时，f(x)=log2

1

1-x

，
∴f(-x)=log2

1

1+x

∵f（x）是R上的奇函数
∴f（x）=-f（x）=log₂（1+x）（x∈（-1，0））
∵x∈（3，4），∴x-4∈（-1，0）
∴f（x-4）=log₂（x-3）
∵f（x）是R上以2为周期的函数
∴f（x）=f（x-4）=log₂（x-3）（x∈（3，4））
∴f（x）在x∈（3，4）时是一个增函数
∵x∈（3，4），∴x-3∈（0，1）
∴f（x）=f（x-4）=log₂（x-3）＜0
故选A．

点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查周期性，确定函数的解析式是关键．