精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
建造一条防洪堤,其断面为等腰梯形,腰与底边成角为60°(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其断面面积为平方米,为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省,则断面的外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)要最小.
(1)求外周长的最小值,此时防洪堤高h为多少米?
(2)如防洪堤的高限制在的范围内,外周长最小为多少米?

【答案】分析:(1)利用梯形的面积公式将梯形的上底、下底用h表示;将梯形周长用h表示;利用基本不等式求出周长的最小值.
(2)利用函数单调性的定义判断出函数的单调性;利用函数的单调性求出周长的最小值.
解答:解:(1),AD=BC+2×hcot60°=BC+,解得
设外周长为l,则=
,即时等号成立.外周长的最小值为米,此时堤高h为米.
(2),设
=,l是h的增函数,
(米).(当h=3时取得最小值).
点评:将实际问题转化为函数模型、利用基本不等式求函数的最值注意需满足:一正、二定、三相等;
利用函数单调性的定义判断函数的单调性、利用函数的单调性求函数的最值.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网建造一条防洪堤,其断面为等腰梯形,腰与底边成角为60°(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其断面面积为6
3
平方米,为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省,则断面的外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)要最小.
(1)求外周长的最小值,此时防洪堤高h为多少米?
(2)如防洪堤的高限制在[ 3 , 2
3
 ]
的范围内,外周长最小为多少米?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2008•杨浦区二模)建造一条防洪堤,其断面为等腰梯形,腰与底边成角为60°(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其断面面积为6
3
平   方米,为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省,则断面的外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)要最小.
求外周长的最小值,此时防洪堤高h为多少米?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012-2013学年江苏省苏南四校高三12月月考试数学试卷(解析版) 题型:解答题

建造一条防洪堤,其断面为等腰梯形,腰与底边成角为(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其断面面积为平方米,为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省,则断面的外周长(梯形的上底线段与两腰长的和)要最小.

(1)求外周长的最小值,并求外周长最小时防洪堤高h为多少米?

(2)如防洪堤的高限制在的范围内,外周长最小为多少米?

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

建造一条防洪堤,其断面为等腰梯形,腰与底边成角为60°(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其断面面积为数学公式平  方米,为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省,则断面的外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)要最小.
求外周长的最小值,此时防洪堤高h为多少米?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2008年上海市静安区高考数学二模试卷(文理合卷)(解析版) 题型:解答题

建造一条防洪堤,其断面为等腰梯形,腰与底边成角为60°(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其断面面积为平方米,为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省,则断面的外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)要最小.
(1)求外周长的最小值,此时防洪堤高h为多少米?
(2)如防洪堤的高限制在的范围内,外周长最小为多少米?

查看答案和解析>>

同步练习册答案