Question

（本题满分14分）

已知函数与函数的图像关于直线对称．

（1）试用含的代数式表示函数的解析式，并指出它的定义域；

（2）数列中，，当时，．数列中，，．点在函数的图像上，求的值；

（3）在（2）的条件下，过点作倾斜角为的直线，则在ｙ轴上的截距为，求数列的通项公式．

Answer 1

，；；

解析:

解：（1）由题可知：与函数互为反函数，所以，

，   …………………………2分

（2）因为点在函数的图像上，所以，    (*)

在上式中令可得：，又因为：，，代入可解得：．所以，，(*)式可化为： ①……6分

（3）直线的方程为：，，

在其中令，得，又因为在ｙ轴上的截距为，所以，

=，结合①式可得：            ②

由①可知：当自然数时，，，

两式作差得：．

结合②式得：         ③

在③中，令，结合，可解得：，

又因为：当时，，所以，舍去，得．

同上，在③中，依次令，可解得：，．

猜想：．下用数学归纳法证明．        …………………………10分

（1）时，由已知条件及上述求解过程知显然成立．

（2）假设时命题成立，即，则由③式可得：

把代入上式并解方程得：

由于，所以，，所以，

符合题意，应舍去，故只有．

所以，时命题也成立．

综上可知：数列的通项公式为    …………………………14分