Question

（2008•宝坻区一模）下列命题：
（1）若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，θ∈(

π

4

，

π

2

)，则f（sinθ）＞f（cosθ）；
（2）若锐角α，β满足cosα＞sinβ，则α+β＜

π

2

；
（3）若f（x）=sin2xcos2x，则f（x）的最小正周期为

π

2

；
（4）要得到函数y=cos（

x

2

-

π

4

）的图象只需将y=sin

x

2

的图象向左平移

π

4

个单位．
其中正确命题的个数有

2

个．

Answer 1

分析：对于①，联系偶函数和增函数得到函数在[0，1]上为减函数后再解；
对于②，cos α＞sin β要化成同名三角函数；
③f（x）=2cos²

x

2

-1=cosx，
④函数y=cos（

x

2

-

π

4

）的系数

1

2

要引起特别注意．

解答：解：①由已知可得函数在[0，1]上为减函数，
且由于θ∈（

π

4

，

π

2

）⇒1＞sinθ＞cosθ＞0，
故有f（sinθ）＜f（cosθ），故①错；
②由已知角的范围可得：cosα＞sinβ=cos（

π

2

-β）⇒α＜

π

2

-β⇒α+β＜

π

2

，故②正确；
③易知f（x）=

1

2

sin4x，其周期为

π

2

，故③正确；
④由于函数y=cos（

x

2

-

π

4

）=cos(

π

4

-

x

2

)=sin[

π

2

-(

π

4

-

x

2

)]=sin(

x

2

+

π

4

)=sin

x+ π 2

2

则只要得到函数y=cos（

x

2

-

π

4

）的图象只需将y=sin

x

2

的图象向左平移

π

2

个单位得到，故④正确．
故答案为 2

点评：本题是一道综合题，考查了函数的性质和三角函数中的二倍角公式以及三角函数图象的变换等．