Question

曲线y=2-

1

2

x²与y=

1

4

x³-2在交点处的切线夹角是

 

．（以弧度数作答）

Answer 1

分析：先求出曲线y=2-

1

2

x²与y=

1

4

x³-2在交点坐标，然后分别求出两个函数在切点处的导数得到两切线的斜率，最后利用夹角公式求出两切线的夹角即可．

解答：解：由

y=2- x2 2 y= x3 4 -2

得x³+2x²-16=0，（x-2）（x²+4x+8）=0，∴x=2．
∴两曲线只有一个交点．
∵y′=（2-

1

2

x²）′=-x，∴y′|_x=2=-2．
又y′=（

x3

4

-2）′=

3

4

x²，∴当x=2时，y′=3．
∴两曲线在交点处的切线斜率分别为-2、3，
|

-2-3

1+(-2)×3

|=1．
∴夹角为

π

4

．
故答案为：

π

4

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及夹角公式的运用等基础题知识，考查运算求解能力，属于基础题．