Question

16．在△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，PA⊥平面ABC，如果PB，PC与平面ABC所成角分别为30°、60°，那么PD与平面ABC所成角的大小为45°．

Answer 1

分析 设PA=1，由已知求出PB=2，AB=$\sqrt{3}$，AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，CD=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，从而得到AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=1，由此能求出PD与平面ABC所成角的大小．

解答 解：设PA=1，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，PA⊥平面ABC，如果PB，PC与平面ABC所成角分别为30°、60°，
∴∠ABP=30°，∠ACP=60°，∠ADP是PD与平面ABC所成角，
∴PB=2，AB=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，AC=1×cot60°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，CD=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{1}{2}\sqrt{3-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}$=1，
∴tan$∠ADP=\frac{PA}{AD}$=1，
∴∠ADP=45°．
∴PD与平面ABC所成角的大小为45°．
故答案为：45°．

点评 本题考查线面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．