Question

11．在△ABC中，$\overrightarrow{m}$=（2a-c，cosC），$\overrightarrow{n}$=（b，cosB），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角B的大小；
（2）若b=1，当△ABC面积取最大时，求△ABC内切圆的半径．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$可得（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理化简可得2sinAcosB=sinA，利用A，B为三角形内角，即可解得B的值．
（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式及已知B=$\frac{π}{3}$，b=1可解得ac≤1，利用三角形面积公式可得当且仅当a=c=1时S_△ABC最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，此时三角形为等边三角形，即可求得其内切圆的半径．

解答 解：（Ⅰ）∵由已知可得（2a-c）cosB=bcosC，
∴由正弦定理可得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，即2sinAcosB=sin（B+C），
∴cosB=$\frac{1}{2}$，B为三角形内角，
∴B=$\frac{π}{3}$．…（5分）
（Ⅱ）由（1）得B=$\frac{π}{3}$，又b=1，△ABC中b²=a²+c²-2accosB得b²=a²+c²-ac即1+3ac=（a+c）²，
又因为（a+c）²≥4ac．得1+3ac≥4ac即ac≤1．
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$，当且仅当a=c=1时S_△ABC最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
此时由S_△ABC=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r，r=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，基本不等式的应用，考查了平面向量及其应用，三角形面积公式的应用，考查了计算能力，属于中档题．