Question

9．已知某校有甲乙两个兴趣小组，其中甲组有2名男生、3名女生，乙组有3名男生，1名女生，学校计划从两兴趣小组中随机各选2名成员参加某项活动．
（1）求选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数；
（2）记X为选出的4名选手中女选手的人数，求X的概率分布和数学期望．

Answer 1

分析 （1）分这名女生来自甲组、来自乙组两种情况，求出好有一名女生的选派方法数．
（2）X的可能取值为0，1，2，3，再求出X取每个值的概率，可得X的概率分布和数学期望．

解答 （1）选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为${C}_{2}^{1}$•${C}_{3}^{1}$•${C}_{3}^{2}$+${C}_{2}^{2}$•${C}_{3}^{1}$•${C}_{1}^{1}$=21 种．
（2）X的可能取值为0，1，2，3． $P（X=0）=\frac{C_3^2}{C_5^2C_4^2}=\frac{3}{10×6}=\frac{1}{20}$，$P（X=1）=\frac{C_2^1C_3^1C_3^2+C_3^1}{C_5^2C_4^2}=\frac{2×3×3+3}{10×6}=\frac{7}{20}$，
$P（X=3）=\frac{C_3^2C_3^1}{C_5^2C_4^2}=\frac{3×3}{10×6}=\frac{3}{20}$，P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）=$\frac{9}{20}$，故X的概率分布为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{7}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{3}{20}$

$E（X）=0×\frac{1}{20}+1×\frac{7}{20}+2×\frac{9}{20}+3×\frac{3}{20}=\frac{17}{10}$．

点评 本题主要考查排列组合问题，离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．