Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E为棱AB的中点．
求：
（1）D₁E与平面BC₁D所成角的正弦值；
（2）二面角D-BC₁-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）延长EB至F使BF=1，连接C₁F，则C₁F∥D₁E，则C₁F与平面BC₁D所成角等于D₁E与平面BC₁D所成角θ，计算出F到BC₁D的距离h．则sinθ=

h

C1F

（2）取BC₁的中点H，连接DH，CH，则∠DHC为二面角D-BC₁-C的平面角，在△DHC中利用余弦定理计算即可．

解答：解：（1）如图

延长EB至F使BF=1，连接C₁F，则C₁F∥D₁E，则C₁F与平面BC₁D所成角等于D₁E与平面BC₁D所成角，设为θ，
设F到BC₁D的距离为h．，则_VC1-DBF=V _F-C1BD∴

1

3

_{^S△DBF^×CC1=}

1

3

S△DBC1×h，S△DBF=

1

2

×BF×DA=1，
_S△DBC1=

3

4

×8=2

3

，∴h=

3

3

，sinθ=

h

C1F

═

h

D1E

=

3 3

3

=

3

9

（2）取BC₁的中点H，连接DH，CH，∵△DBC₁为正三角形，BCC₁为等腰直角三角形，∴DH⊥BC ₁，CH⊥BC ₁
∴∠DHC为二面角D-BC₁-C的平面角，设为β，在△DHC中，cosβ=

DH2+HC2- CD2

2DH×HC

=

6+2-4

2 6× 2

=

3

3

点评：本题考查线面角、二面角求解，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力