Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点P，Q，R分别是棱AB，CC₁，D₁A₁的中点．
（1）求证：B₁D⊥平面PQR；
（2）设二面角B₁-PR-Q的大小为θ，求|cosθ|．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，利用向量的数量积为0，判断向量垂直，再利用线面垂直的判定定理可以证明；
（2）求出平面B₁PR的一个法向量，利用向量的夹角公式，我们可以求出向量的夹角的余弦值，这样，我们就利用求出|cosθ|．

解答：解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则P（1，0，0），
Q（2，2，1），R（0，1，2），D（0，2，0），B₁（2，0，2）
∴

PR

=(-1，1，2)，

PQ

=(1，2，1)，

B1D

=(-2，2，-2)
∴

PR

•

B1D

=2+2-4=0，

PQ

•

B1D

=-2+4-2=0
∴

PR

⊥

B1D

，

PQ

⊥

B1D

∵PR∩PQ=P，PR，PQ⊆平面PQR；
∴B₁D⊥平面PQR；
（2）由（1）知，

B1D

是平面PQR的一个法向量
设

n

=(x，y，z)是平面B₁PR的一个法向量
∵

B1P

=(-1，0，-2)
∴

n • B1P =0 n • PR =0

，∴

-x-2z=0 -x+y+2z=0

取z=1，则x=-2，y=-4
∴平面B₁PR的一个法向量为

n

=(-2，-4，1)
∴cos＜

n

，

B1D

＞ =

n • B1D

| n |  | B1D |

=

4-8-2

2 3 × 21

=-

7

7

∴|cosθ|=

7

7

点评：利用空间向量解决立体几何问题优点是减少辅助线的添加，利用代数的方法解决立体几何问题，这是向量的一种创新运用．