解:(Ⅰ)设F
1,F
2的坐标分别为(-c,0),(c,0),其中c>0
由题意得AB的方程为:
因F
1到直线AB的距离为3,所以有
,解得
…(1分)
所以有a
2-b
2=c
2=3…①
由题意知:
,即ab=2…②
联立①②解得:a=2,b=1
∴所求椭圆D的方程为
…(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:P(-2,0),设Q(x
1,y
1)
根据题意可知直线l
1的斜率存在,可设直线斜率为k,则直线l
1的方程为y=k(x+2)
把它代入椭圆D的方程,消去y,整理得:(1+4k
2)x
2+16k
2x+(16k
2-4)=0
由韦达定理得
,则
,
∴y
1=k(x
1+2)=
,∴
,
∴线段PQ的中点坐标为
,
…(6分)
(ⅰ)当k=0时,则有Q(2,0),线段PQ垂直平分线为y轴,于是
由
,解得:
…(8分)
当k≠0时,则线段PQ垂直平分线的方程为y-
因为点N(0,t)是线段PQ垂直平分线的一点,
令x=0,得:
,于是
由
,解得:
代入
,解得:
综上,满足条件的实数t的值为
或
…(10分)
(ⅱ)设G(x
2,y
2),由题意知l
1的斜率k≠0,直线l
2的斜率为
,则
由
化简得:(k
2+4)x
2+16x+16-4k
2=0.
∵此方程有一根为-2,得
?
.…(12分)
∵
,则
所以GQ的直线方程为
令y=0,则
.
所以直线GQ过x轴上的一定点
…(14分)
分析:(Ⅰ)设出AB的方程,利用F
1到直线AB的距离为3,可求得c的值,利用a
2-b
2=c
2=3,连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4,即可求得椭圆D的方程;
(Ⅱ)设直线l
1的方程代入椭圆D的方程,消去y,整理得一元二次方程,由韦达定理,可求得线段PQ的中点坐标;(ⅰ)当k=0时,则有Q(2,0),线段PQ垂直平分线为y轴,利用
,可求t的值;当k≠0时,求出线段PQ垂直平分线的方程,令x=0,得:
,利用
,可求t的值;
(ⅱ)设直线l
2的方程与椭圆方程联立,确定Q的坐标,从而可求GQ的直线方程,令y=0,即可得到结论.
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,考查学生分析解决问题的能力,综合性强.