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(2012•青岛二模)设F1,F2分别是椭圆D:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点,过F2作倾斜角为
π
3
的直线交椭圆D于A,B两点,F1到直线AB的距离为3,连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4.
(Ⅰ)求椭圆D的方程;
(Ⅱ)过椭圆D的左顶点P作直线l1交椭圆D于另一点Q.
(ⅰ)若点N(0,t)是线段PQ垂直平分线上的一点,且满足
NP
NQ
=4
,求实数t的值;
(ⅱ)过P作垂直于l1的直线l2交椭圆D于另一点G,当直线l1的斜率变化时,直线GQ是否过x轴上的一定点,若过定点,请给出证明,并求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.
分析:(Ⅰ)设出AB的方程,利用F1到直线AB的距离为3,可求得c的值,利用a2-b2=c2=3,连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4,即可求得椭圆D的方程;
(Ⅱ)设直线l1的方程代入椭圆D的方程,消去y,整理得一元二次方程,由韦达定理,可求得线段PQ的中点坐标;(ⅰ)当k=0时,则有Q(2,0),线段PQ垂直平分线为y轴,利用
NP
NQ
=-4+t2=4
,可求t的值;当k≠0时,求出线段PQ垂直平分线的方程,令x=0,得:t=-
6k
1+4k2
,利用
NP
NQ
=4
,可求t的值;
(ⅱ)设直线l2的方程与椭圆方程联立,确定Q的坐标,从而可求GQ的直线方程,令y=0,即可得到结论.
解答:解:(Ⅰ)设F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0),其中c>0
由题意得AB的方程为:y=
3
(x-c)

因F1到直线AB的距离为3,所以有
|-
3
c-
3
c|
3+1
=3
,解得c=
3
…(1分)
所以有a2-b2=c2=3…①
由题意知:
1
2
×2a×2b=4
,即ab=2…②
联立①②解得:a=2,b=1
∴所求椭圆D的方程为
x2
4
+y2=1
…(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:P(-2,0),设Q(x1,y1
根据题意可知直线l1的斜率存在,可设直线斜率为k,则直线l1的方程为y=k(x+2)
把它代入椭圆D的方程,消去y,整理得:(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0
由韦达定理得-2+x1=-
16k2
1+4k2
,则x1=
2-8k2
1+4k2

∴y1=k(x1+2)=
4k
1+4k2
,∴Q(
2-8k2
1+4k2
4k
1+4k2
)

∴线段PQ的中点坐标为(-
8k2
1+4k2
2k
1+4k2
)
…(6分)
(ⅰ)当k=0时,则有Q(2,0),线段PQ垂直平分线为y轴,于是
NP
=(-2,-t),
NQ
=(2,-t)

NP
NQ
=-4+t2=4
,解得:t=±2
2
…(8分)
当k≠0时,则线段PQ垂直平分线的方程为y-
2k
1+4k2
=-
1
k
(x+
8k2
1+4k2
)

因为点N(0,t)是线段PQ垂直平分线的一点,
令x=0,得:t=-
6k
1+4k2
,于是
NP
=(-2,-t),
NQ
=(x1y1-t)

NP
NQ
=-2x1-t(y1-t)=
4(16k4+15k2-1)
(1+4k2)2
=4
,解得:k=±
14
7

代入t=-
6k
1+4k2
,解得:t=±
2
14
5

综上,满足条件的实数t的值为t=±2
2
t=±
2
14
5
…(10分)
(ⅱ)设G(x2,y2),由题意知l1的斜率k≠0,直线l2的斜率为-
1
k
,则l2:y=-
1
k
(x+2)

y=-
1
k
(x+2)
x2
4
+y2=1
化简得:(k2+4)x2+16x+16-4k2=0.
∵此方程有一根为-2,得x2=
2k2-8
k2+4
y2=-
4k
k2+4
.…(12分)
Q(
2-8k2
1+4k2
4k
1+4k2
)
,则kGQ=
-
4k
k2+4
-
4k
1+4k2
2k2-8
k2+4
-
2-8k2
1+4k2
=-
5k
4(k2-1)

所以GQ的直线方程为y-
4k
1+4k2
=-
5k
4(k2-1)
(x-
2-8k2
1+4k2
)

令y=0,则x=
16k(k2-1)
5k(1+4k2)
+
2-8k2
1+4k2
=-
6
5

所以直线GQ过x轴上的一定点(-
6
5
,0)
…(14分)
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,考查学生分析解决问题的能力,综合性强.
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②函数f(x)在[0,2]上是减函数;
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