Question

（2012•青岛二模）一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表所示（单位：辆），若按A，B，C三类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，则A类轿车有10辆．
（Ⅰ）求z的值；

	轿车A	轿车B	轿车C
舒适型	100	150	z
标准型	300	450	600

（Ⅱ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个分数a．记这8辆轿车的得分的平均数为

.

x

，定义事件E={|a-

.

x

|≤0.5，且函数f（x）=ax²-ax+2.31没有零点}，求事件E发生的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设该厂本月生产轿车为n辆，由题意得：

50

n

=

10

100+300

，求得n=2000，可得 z的值．
（Ⅱ） 求出8辆轿车的得分的平均数为

.

x

，由|a-

.

x

|≤0.5，且函数f（x）=ax²-ax+2.31没有零点 可得

|a-9|≤0.5 △=a2-9.24a＜0

，由此解得a的范围，求得E发生当且仅当a的值，从而求出事件E发生的概率．

解答：解：（Ⅰ）设该厂本月生产轿车为n辆，由题意得：

50

n

=

10

100+300

，所以n=2000，∴z=2000-100-300-150-450-600=400．    …（4分）
（Ⅱ）  8辆轿车的得分的平均数为

.

x

=

1

8

（ 9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9．…（6分）
把8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个分数a对应的基本事件的总数为8个，
由|a-

.

x

|≤0.5，且函数f（x）=ax²-ax+2.31没有零点 可得

|a-9|≤0.5 △=a2-9.24a＜0

，解得 8.5≤a＜9.24． …（10分）
∴E发生当且仅当a的值为：8.6，9.2，8.7，9.0共4个，∴p(E)=

4

8

=

1

2

． …（12分）

点评：本题主要考查用列举法计算基本事件数以及事件发生的概率，分层抽样的定义和方法，属于基础题．