Question

已知y=2cos²x+4asinx+a-3
（1）求函数最大值M（a）的表达式．
（2）若f（x）=0在[0，π]有2个解，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）y=2cos²x+4asinx+a-3=2a²+a-1-2（sinx-a）²，当-1≤a≤1时，函数最大值M（a）=2a²+a-1．
当 a＜-1时，函数最大值M（a）=2a²+a-1-2 （-1-a）²=-3a-3．
当 a＞1时，函数最大值M（a）=2a²+a-1-2 （1-a）²=5a-3．
（2）若f（x）=0在[0，π]上有2个解，令 sinx=t，∵0≤x≤π，∴0≤sinx≤1，∴0≤t≤1．
由于当t在[0，1）上任意取一个值，x在[0，π）]上都有2个值与之对应，而当t=1时，只有一个x=与之对应．
故由题意f（x）=0在[0，π]有2个解，可得关于t的函数 g（t）=2a²+a-1-2（t-a）² =-2t²+4at+a-1
的图象在[0，1）上，与横轴只能有一个交点，
即关于t的方程 g（t）=0在[0，1）上有唯一解．
∴，即，∴a=，
故a的取值范围是 { }．
分析：（1）y=2cos²x+4asinx+a-3=2a²+a-1-2（sinx-a）²，当-1≤a≤1时，函数最大值M（a）=2a²+a-1，当a＜-1时，函数最大值M（a）=2a²+a-1-2 （-1-a）²=-3a-3； 当a＞1时，函数最大值M（a）=2a²+a-1-2 （1-a）²=5a-3．
（2）令 sinx=t，由0≤x≤π，得0≤sinx≤1，由题意可得g（t）=2a²+a-1-2（t-a）²，的图象在[0，1）上与横轴
只有一个交点，故有，解不等式求得a的取值范围．
点评：本题考查同角三角函数的基本关系，二次函数的最值问题，令 sinx=t，判断g（t）=2a²+a-1-2（t-a）²，在[0，1]上，与横轴有两个交点，是解题的关键．