Question

已知

a

=(2cos2x，1)，

b

=（1，2

3

sinxcosx+m）（x∈R，m∈R，m是常数）且y=

a

•

b

．
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）；
（2）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为4，求m的值；
（3）求f（x）的最小正周期及单调减区间．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积以及两角和的正弦公式化简f（x）的解析式为 2sin（2x+

π

6

）+m+1．
（2）由题意可得，2sin（2x+

π

6

）+m+1的最大值为4，由此求得m的值．
（3）根据f（x）解析式求得它的最小正周期为T=

2π

2

=π，令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求出x的范围，即可求得f（x）的单调减区间．

解答：解：（1）∵由题意可得y=

a

•

b

=2cos²x+2

3

sinxcosx+m=cos2x+

3

sin2x+m+1=2sin（2x+

π

6

）+m+1．
即 f（x）=2sin（2x+

π

6

）+m+1．
（2）由上可得，2sin（2x+

π

6

）+m+1的最大值为4，故m=1．
（3）f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π，令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得  kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈z，
故单调减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈z．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的公式、两角和的正弦公式的应用，正弦函数的周期性和单调性的应用，属于中档题．