Question

（1）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=（

2 a 2 b

）的两^E值分别为λ₁=-1和λ₂=4．
（I）求实数的值；
（II ）求直线x-2y-3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程为

x=sinα y=2cos2α-2

，
（a为餓），曲线D的鍵标方程为ρsin（θ-

π

4

）=-

3 2

2

．
（I ）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（II）判断曲线c与曲线D的交点个数，并说明理由．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知a，b为正实数．
（I）求证：

a2

b

+

b2

a

≥a+b；
（II）利用（I）的结论求函数y=

(1-x)2

x

+

x2

1-x

（0＜x＜1）的最小值．

Answer 1

分析：A：（I）先写出矩阵A的特征多项式，再结合由于λ₁=-1和λ₂=4是此函数的零点即可求得a，b．
（II）先直线x-2y-3=0上任一点（x，y）在矩阵M所对应的线性变换作用下的像（x′，y′），根据矩阵变换得出它们之间的关系，从而求直线x-2y-3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程
B：（I）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解即可．
（II）由上述方程消去y得到：2x²+x-3=0，再根据根的判别式进行判断此方程有两个不等的实根即可得出曲线c与曲线D的交点个数是2．
C：（I）利用基本不等式a²+b²≥2ab，乘积一定，和有最小值，等号成立的条件是两正数相等；
（2）利用（1）的结论，可推知当函数y=

(1-x)2

x

+

x2

1-x

（0＜x＜1）的最小值，进而最小值也可求．

解答：A：解：（I）矩阵A的特征多项式为：f（λ）=

.

λ-2 -a -2 λ-b

.

，
即f（λ）=λ²-（b+2）λ+2b-2a，
由于λ₁=-1和λ₂=4是此函数的零点，
∴

3=b+2 -4=2b-2a

?

a=3 b=1

（II）由上知，M=

2 3 2 1

，
直线x-2y-3=0上任一点（x，y）在矩阵M所对应的线性变换作用下的像（x′，y′）
由

x′   y′

=

2 3 2 1

x   y

得到：

x= -x′+3y′ 4 y= x′-y′ 2

代入x-2y-3=0化简得到5x′-7y′+12=0．
直线x-2y-3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程5x-7y+12=0．
B：解：（I）∵已知曲线C的参数方程为

x=sinα y=2cos2α-2

，
∴消去参数α得：x²=-

y

2

，x∈[-1，1]．
（II）由方程为ρsin（θ-

π

4

）=-

3 2

2

．得到：曲线D的方程为：x-y-3=0．
由上述方程消去y得到：2x²+x-3=0，此方程有两个不等的实根，
∴曲线c与曲线D的交点个数是2．
C：解：（I）（

a2

b

+

b2

a

）（b+a）=a²+

a 3

b

+b²+

b3

a

≥a²+b²+2ab=（a+b）²；
∴

a2

b

+

b2

a

≥a+b；
（II）解：依题意可知 y=

(1-x)2

x

+

x2

1-x

≥1
∴y=

(1-x)2

x

+

x2

1-x

（0＜x＜1）最小值为1．

点评：本小题主要考查参数方程化成普通方程、复合变换与二阶矩阵的乘法、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．特别是本题C考查不等式的应用，另外给你一种解题工具，让你应用它来解答某一问题，这是近年考试命题的一种新颖的题型之一，很值得读者深刻反思和领悟当中的思维本质．