Question

已知

a

=(sin(

π

4

+2α)，

6

6

)，

b

=(sin(

π

4

-2α)，-

6

6

)，α∈(

π

4

，

π

2

)，且

a

⊥

b

，求

2

sin2α+2cos2α的值．

Answer 1

分析：直接通过

a

⊥

b

，得到数量积为0，化简方程求出cos2α，sin2α，利用二倍角公式化简2cos²α，然后求解即可．

解答：解：由

a

⊥

b

得：sin(

π

4

+2α)sin(

π

4

-2α)-

1

6

=0∴sin(

π

4

+2α)cos(

π

4

+2α)=

1

6

，
则sin(

π

2

+4α)=

1

3

故cos4α=

1

3

又cos4α=2cos²2α-1=1-2sin²2α，
且α∈(

π

4

，

π

2

)⇒2α∈(

π

2

，π)∴cos2α=-

6

3

，sin2α=

3

3

，
∴2cos2α=cos2α+1=1-

6

3

2

sin2α=

6

3

，
∴

2

sin2α+2cos2α=1．

点评：本题是中档题，考查三角函数的公式的灵活运用，二倍角公式的应用，考查计算能力．