Question

已知

a

=(sinθ，cosθ)、

b

=(

3

，1)
（1）若

a

∥

b

，求tanθ的值；
（2）若f(θ)=|

a

+

b

|，△ABC的三条边分别为f（-

2π

3

）、f（-

π

6

）、f（

π

3

），求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由两向量的坐标及两向量平行，利用平面向量平行的条件列出关系式，变形即可求出tanθ的值；
（2）利用平面向量数量积运算法则表示出f（θ），进而求出f（-

2π

3

）、f（-

π

6

）、f（

π

3

）的值，确定出a，b，c的值，利用余弦定理表示出cosB，将a，b，c的值代入求出cosB的值，确定出sinB的值，由a，c，sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）∵

a

=（sinθ，cosθ），

b

=（

3

，1），

a

∥

b

，
∴sinθ-

3

cosθ=0，
∴sinθ=

3

cosθ，
即tanθ=

3

；
（2）∵

a

+

b

=（sinθ+

3

，cosθ+1），
∴|

a

+

b

|=

(sinθ+ 3 )2+(cosθ+1)2

=

5+2 3 sinθ+2cosθ

=

5+4sin(θ+ π 6 )

，
∴a=f（-

2π

3

）=

5+4sin(- π 2 )

=1，b=f（-

π

6

）=

5

，c=f（

π

3

）=

5+4sin π 2

=3，
由余弦定理可知：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1+9-5

2×1×3

=

5

6

，
∴sinB=

1-cos2B

=

11

6

，
则S_△ABC=

1

2

acsinB=

11

4

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．