Question

11．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB₁⊥平面ABC，且AB=BC=AB₁=2．
（Ⅰ）证明：平面C₁CBB₁⊥平面A₁ABB₁
（Ⅱ）若点P为A₁C₁的中点，求直线BP与平面A₁ACC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）B₁A⊥平面ABC，则B₁A⊥BC，AB⊥BC，BC⊥平面A₁ABB₁，BC?平面C₁CBB₁，平面C₁CBB₁⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅱ）分别以$\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BM}$为x，y，z轴的非负向量建立空间直角坐标系B-xyz，求得$\overrightarrow{BP}$=（1，3，2）和平面A₁ACC₁法向量，直线BP与平面A₁ACC₁所成角的余弦值为丨cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BP}$＞丨=丨$\frac{1+3-2}{\sqrt{3}×\sqrt{14}}$丨=$\frac{\sqrt{42}}{21}$，根据同角三角形函数的基本关系，即可求得直线BP与平面A₁ACC₁所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵B₁A⊥平面ABC，
∴B₁A⊥BC…（1分），
又∵AB⊥BC，AB∩BC=B，
∴BC⊥平面A₁ABB₁，…（3分），
又∵BC?平面C₁CBB₁，
∴平面C₁CBB₁⊥平面A₁ABB₁…（4分）
（Ⅱ）过B点作BM⊥平面ABC，则BM⊥BA，BM⊥BC，分别以$\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BM}$为x，y，z轴的非负向量建立空间直角坐标系B-xyz，…（5分），
则B（0，0，0），B₁（0，2，2），
∵$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（0，2，2），
∴A₁（0，4，2），C₁（2，2，2），P（1，3，2），
∴$\overrightarrow{AC}$=（2，-2，0），$\overrightarrow{BP}$=（1，3，2），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面A₁ACC₁的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x-2y=0}\\{2y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，解得：y=1，z=-1，
∴$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1），
故直线BP与平面A₁ACC₁所成角的余弦值为丨cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BP}$＞丨=丨$\frac{1+3-2}{\sqrt{3}×\sqrt{14}}$丨=$\frac{\sqrt{42}}{21}$，
sin＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BP}$＞=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{42}}{21}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{399}}{21}$．…（12分）

点评 本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，考查立体几何与向量的综合应用，考查平面法向量的求法，考查计算能力，属于中档题．