Question

以等腰直角三角形ABC的斜边AB上的高CD为轴折成一个60°的二面角，使B到Bˊ的位置，已知斜边AB=2，求：

(1)C到平面ABˊD的距离；

(2)A到平面CBˊD的距离；

(3)AC和平面CBˊD所成的角．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵CD⊥AD，CD⊥BˊD， ∴CD⊥平面ABˊD， ∴CD的长就是C到平面ABˊD的距离． 由△ABC是等腰直角三角形，AB=2，得CD=1， 即C到平面ABˊD的距离为1． (2)过点A作AE⊥BˊD交BˊD于E， ∵CD⊥平面ABˊD， ∴平面ABˊD⊥平面BˊCD， ∴AE⊥平面CBˊD． ∴AE的长为A到平面BˊCD的距离． ∵AD⊥CD，BˊD⊥CD， ∴∠ADBˊ为二面角A—CD—Bˊ的平面角． 由题意知∠ADBˊ=60°． 在Rt△ADE中，AD=1，∴AE=， 即点A到平面CBˊD的距离为． (3)连结CE． ∵AE⊥平面BˊCD， ∴AC在平面BˊDC内的射影为CE， ∴∠ACE为AC和平面CBˊD所成的角． 在Rt△ACE中，AC=，AE=． ∴sinACE=, ∴∠ACE=arcsin， 即AC与平面CBˊD所成的角为arcsin． 点评：(2)中选作AE⊥BˊD于E，然后证AE是垂线段．最后再计算AE．(3)中选作∠ACE，然后证∠ACE是AC与平面BˊCD所成的角，最后再求出∠ACE，这一例题再一次说明了“作、证、算”是解决这类题目的基本步骤．