Question

已知椭圆C：=1（a＞b＞O），椭圆C焦距为：2c，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）．
（I）求椭圆c的方程；
（II）设点P（-，0），过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形，可求几何量，从而可得椭圆的方程；
（II）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，进而利用直线F₁B₂，F₁B₁的方程，可得G在正方形Q内（包括边界）的充要条件，由此可得直线l斜率的取值范围．
解答：解：（I）由题设知，a²=8，b=c，∴
∴椭圆C的方程为；
（II）点P的坐标为（-4，0），设直线l的方程为y=k（x+4）
如图，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点为G（x，y），
y=k（x+4）代入椭圆方程，消去y可得（1+2k²）x²+16k²x+32k²-8=0
由△=（16k²）²-4（1+2k²）（32k²-8）＞0，可得
又x₁+x₂=-，
∴x==-，y=k（x+4）=
∵x=-≤0，
∴G不可能在y轴的右边
又直线F₁B₂，F₁B₁的方程分别为y=x+2，y=-x-2，所以G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为
，即，解得，满足
故直线l斜率的取值范围是[]．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．