Question

选修4-4：坐标系与参数方程设椭圆E的普通方程为

x2

3

+y2=1
（1）设y=sinθ，θ为参数，求椭圆E的参数方程；
（2）点P（x，y）是椭圆E上的动点，求x-3y的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将y=sinθ代入椭圆的普通方程，表示出x，即可得到椭圆的参数方程；
（2）由P（x，y）为椭圆E上的动点，将椭圆的参数方程中的x与y代入x-3y中，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，由余弦函数的值域即可得到x-3y的范围．

解答：解：（1）将y=sinθ代入椭圆普通方程得：

x2

3

+sin²θ=1，
解得：x=

3

cosθ，或x=-

3

cosθ（舍去），
则椭圆E的参数方程为

x= 3 cosθ y=sinθ

；
（2）∵点P（x，y）是椭圆E上的动点，
∴x=

3

cosθ，y=sinθ，
∴x-3y=

3

cosθ-3sinθ=2

3

（

1

2

cosθ-

3

2

sinθ）=2

3

cos（θ+

π

3

），
∵-1≤cos（θ+

π

3

）≤1，
∴-2

3

≤2

3

cos（θ+

π

3

）≤2

3

，
则x-3y的范围为[-2

3

，2

3

]．

点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，余弦函数的定义域与值域，以及椭圆的参数方程，其中得出椭圆的参数方程是解本题的关键．