Question

甲、乙两人同时参加奥运志愿者选拔赛的考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才能入选．
（I）求甲答对试题数ξ的分布列及数学期望；
（II）求甲、乙两人至少有一人入选的概率．

Answer 1

分析：对于（I）求甲答对试题数ξ的分布列及数学期望，因为随机抽出3道题进行测试，故甲答对试题数ξ的可能取值为0，1，2，3，然后分别求出每种取值的概率，即可得到分布列，由分布列和期望公式求得期望即可．
对于（II）求甲、乙两人至少有一人入选的概率，可以设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，分别求出事件A、B的概率．然后根据相互独立事件的概率乘法公式求得两人都不入选的概率．题目求至少一人入选，可以用1减去两人都不入选的概率即可．

解答：解：（I）依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0，1，2，3，
则P(ξ=0)=

C 3 4

C 3 10

=

1

30

，
P(ξ=1)=

C 1 6 • C 2 4

C 3 10

=

3

10

，
P(ξ=2)=

C 2 6 • C 1 4

C 3 10

=

1

2

，
P(ξ=3)=

C 3 6

C 3 10

=

1

6

.．
∴ξ的分布列为

甲答对试题数ξ的数学期望为Eξ=0×

1

30

+1×

3

10

+2×

1

2

+3×

1

6

=

9

5

.
（II）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P(A)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=

2

3

，P(B)=

C 2 8 C 1 2 + C 3 8

C 3 10

=

56+56

120

=

14

15

.
因为事件A、B相互独立，
∴甲、乙两人考试均不合格的概率为P(

.

A

•

.

B

)=P(

.

A

)•P(

.

B

)=[1-

2

3

][1-

14

15

]=

1

45

.
∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1-P(

.

A

•

.

B

)=1-

1

45

=

44

45

.
故甲、乙两人于少有一人考试合格的概率为

44

45

.．

点评：此题主要考查离散型随机变量的分布列及期望的求法，其中涉及到相互独立事件概率乘法公式的应用问题，题目涵盖知识点多有一定的技巧性，属于中档题目．