Question

若偶函数y=f（x）（x∈R）满足f（1+x）=f（1-x），且当x∈[-1，0]时，f（x）=x²，则函数g（x）=f（x）-|1gx|的零点个数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10

Answer 1

【答案】分析：根据条件可得f（x）是周期函数，T=2，且是偶函数，令y=0，则f（x）=|lgx|，在同一坐标系中作y=f（x）和y=lgx图象，由图象可得结论．
解答：解：由题意g（x）=f（x）-|1gx|=
∵f（1+x）=f（1-x），故f（x）的图象关于x=1对称，
又函数f（x）是R上的偶函数，∴f（x+2）=f（-x）=f（x），∴f（x）是周期函数，T=2，
令y=0，则f（x）=lgx，在同一坐标系中作y=f（x）和y=lgx图象，如图所示：

故函数y=f（x）-lgx的零点有9个，
当lgx＜0时，函数y=f（x）+lgx的零点有1个，
故函数g（x）=f（x）-|1gx|的零点个数为10
故选D．
点评：本题考查函数零点的定义，体现了数形结合的数学思想，在同一坐标系中作y=f（x）和y=lgx图象，是解题的关键．