Question

若偶函数y=f（x）x（∈R）满足f（1+x）=f（1-x），且当x∈[-1，0]时，f（x）=x²，则函数g（x）=f（x）-|log₆x|的零点个数为

6

．

Answer 1

分析：由题目给出的等式及函数是偶函数可得函数的周期为2，再由函数在x∈[-1，0]时，f（x）=x²，且函数是偶函数知函数在x∈[-1，1]时的解析式仍为f（x）=x²，
所以函数在整个定义域上的图象可知，分析函数y=|log₆x|在x=6时的函数值为1，所以两函数图象的交点可知，即函数g（x）的零点个数可求．

解答：解：由f（1+x）=f（1-x），取x=x+1，得：f（x+1+1）=f（1-x-1），所以f（x+2）=f（-x），又因为函数为偶函数，所以f（x+2）=f（-x）=f（x），所以函数f（x）是以2为周期的周期函数．
因为当x∈[-1，0]时，f（x）=x²，由偶函数可知，当x∈[-1，1]时，f（x）=x²，所以函数f（x）的图象是抛物线f（x）=x²在[-1，1]内的部分左右平移2个单位周期出现，
求函数g（x）=f（x）-|log₆x|的零点个数，就是求两函数y=f（x）与y=|log₆x|的交点个数，由于log₆6=1，所以两函数在（0，1]内有1个交点，在（1，3]内有2个交点，
在（3，5]内有两个交点，在（5，7]内只有1个交点，所以交点总数为6个，所以函数g（x）=f（x）-|log₆x|的零点个数为6．
故答案为6．

点评：本题考查了函数的周期性与函数的零点，考查了函数周期的求法，解答此题的关键是明确函数g（x）的零点个数就是两函数y=f（x）与y=|log₆x|的交点个数．