Question

12．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，满足${S_n}=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n$，正项等比数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足b₃=8，T₂=6．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；    
（Ⅱ）记${c_n}={a_n}•{b_n}，n∈{N^*}$，求数列{c_n}的前n项和G_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系可得a_n．利用等比数列的通项公式及其前n项和公式可得b_n．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）n=1，a₁=S₁=2n≥2，a_n=S_n-S_n-1=n+1，
∴a_n=n+1．
设等比数列{b_n}的公比为q，首项为b₁，依题意可知$\left\{\begin{array}{l}{b_1}{q^2}=8\\ \frac{{{b_1}（1-{q^2}）}}{1-q}=6\end{array}\right.⇒q=2$或$q=-\frac{2}{3}$（舍），
∴${b_n}={b_2}×{2^{n-2}}={2^n}$．
（2）则G_n=2×2+3×2²+4×2³+…+n×2^n-1+（n+1）×2ⁿ，
2G_n=2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ+（n+1）2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2×2+（2²+2³+…+2ⁿ）-（n+1）×2ⁿ⁺¹，
即-T_n=2×2+$\frac{{{2^2}（1-{2^{n-1}}）}}{1-2}$-（n+1）×2ⁿ⁺¹，
-T_n=2×2+2ⁿ⁺¹-4-（n+1）×2ⁿ⁺¹，
-T_n=2ⁿ⁺¹-（n+1）×2ⁿ⁺¹，
-T_n=-n×2ⁿ⁺¹，
T_n=n•2ⁿ⁺¹，n∈N^*．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．