Question

17．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，$f'（x）+\frac{f（x）}{x}＜0$，若a=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$），$b=-\sqrt{2}f（-\sqrt{2}）$，c=（ln$\frac{1}{2}$）f（ln$\frac{1}{2}$），则a，b，c的大小关系正确的是（　　）

• A． a＜c＜b
• B． b＜c＜a
• C． a＜b＜c
• D． c＜a＜b

Answer 1

分析 构造函数g（x）=xf（x），判断g（x）的单调性与奇偶性即可得出结论．

解答 解：令g（x）=xf（x），则g（-x）=-xf（-x）=xf（x）
∴g（x）是偶函数．
g′（x）=f（x）+xf′（x）
∵$f'（x）+\frac{f（x）}{x}＜0$
∴当x＞0时，xf′（x）+f（x）＜0，
当x＜0时，xf′（x）+f（x）＞0．
∴g（x）在（0，+∞）上是减函数．
∵$\frac{1}{2}$＜ln2＜1＜$\sqrt{2}$
∴g（$\sqrt{2}$）＜g（ln2）＜g（$\frac{1}{2}$）
∵g（x）是偶函数．
∴g（-$\sqrt{2}$）=g（$\sqrt{2}$），g（ln$\frac{1}{2}$）=g（ln2）
∴g（-$\sqrt{2}$）＜g（ln$\frac{1}{2}$）＜g（$\frac{1}{2}$）
故选：B．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．